小学数学是否适合“先学后教”

     一、问题的提出 

近年来，我国中小学教育界掀起了一股“先学后教”的热潮。由初中到小学，由单科到多科，各地纷纷开展“先学后教”“以学定教”“以教导学”“以学促教”的课堂教学模式，大有一哄而起之势。有人谨慎地提出：小学数学是否适合“先学后教”？这种态度是值得赞赏的：在这种情况下，我们越应该冷静分析，谨慎行事，决不可人云亦云，盲目跟风。笔者就以这个问题为题，谈一点看法。 

把一种教学模式从一科推广到另一科，从一类学生推广到年龄段不同的另一类学生，一般来说，将涉及两个问题：不同的学科可能适合不同的学习方法；不同年龄段的学生一般具有不同的认知规律和心理特点。具体到小学数学来说，我们要分析：“先学后教”是否适合“小学数学”这门学科？是否符合“小学儿童”的认知规律和心理特点？ 

首先我们来看看“先学后教”的具体做法。众所周知，“先学后教”的教学模式一般有三个基本环节：“先学”环节、“后教”环节、“精练”环节。即每节课都先“引导”学生依据“导学提纲”的要求进行自学，然后教师依据学生的自学情况进行“精讲”，最后再“引导”学生根据所学知识点进行“精练”。 

“先学”环节的具体过程是：每节课一上课，教师就把这堂课要掌握的知识用语言的形式告诉学生，同时提出3—5个问题让学生解决。接着学生用6—15分钟的时间看课本。这种“看课本”，是原原本本地阅读教材，有人称之为“裸读”。 

“后教”怎样“教”呢？有人特别指出，“先学后教”的“教”不是系统讲授的意思，而是“点拨”的意思。这种“教”要做到“三讲三不讲”：讲易混、易错、易漏点；讲学生想不到、想不深、想不透的；讲学生解决不了的。学生已会的不讲；学生自己能学会的不讲；讲了学生也不会的不讲。但不管怎样，“后教”的“教”仍是教师讲解。 

由这两个环节我们已经可以看出，这种教学模式的基本观点是，中小学生是通过阅读和听讲学会的，这就是该教学模式的基本学习理论。于是我们要考察的是：小学数学是否应该通过阅读课本和听讲来学习？ 

二、知识的性质：社会知识、物理知识和数理逻辑知识 

语文就是这样学习的，中国有句古话叫“书读千遍理自明”，所以学语文要多读；生字、生词，不懂的句子，是靠老师讲解而明白的，所以学语文要听讲。于是很多人认为数学也是如此，主张教师讲得越多越好，“满堂灌”就是这样来的。现在“满堂灌”虽然受到普遍批判，但许多人始终认为，讲授是最可靠、最有效的教学方法。 

不幸的是，数学和语文这两门学科，不但研究的对象迥异，它们在性质上也是根本不同的。首先揭示这一点的，是划时代的伟大心理学家皮亚杰。皮亚杰将知识分为三类：社会知识、物理知识和数理逻辑知识。 

社会知识的基本来源是人们制定的种种风俗习惯和语言、文化等。例如中国阴历年的第一天是春节；对长辈的各种称呼；长大米的植物叫“水稻”等等。社会知识的基本特点主要是具有随意性。有些人过春节，有些人不过；不同的语言对长辈的称呼也不同；长大米的植物叫“水稻”并无特别的理由，在不同的语言中，可以用不同的名称。所有这些知识并没有任何物质或逻辑上的理由，具有主观性。 

物理知识指的是物体具有的各种性质，例如颜色、质量、温度、硬度等。这些知识存在于物体本身，是客观存在的，不以人的意志为转移的。 

数理逻辑知识也是客观存在的，不以人的意志为转移的。但是这种知识与物理知识不一样。我们同时看见一个红球和一个蓝球，就知道他们是不同的，这种“不同”就是数理逻辑知识的实例。球虽然可以看见，但它们之间的区别却是看不见的。这种区别既不存在于红球中，也不存在于蓝球中，而是观察球的人从心理上把这两个物体联系起来形成的一种关系。如果观察者没有把这两个球联系起来，他就不会认识到这种区别。事物之间的各种关系都是数理逻辑知识。数学知识属于数理逻辑知识的范畴。物体的顺序、数量和形状也是数理逻辑知识。物体的顺序和个数是客观存在的，但“个数”和“顺序”并不存在于物体之中，儿童必须把若干个物体联系起来，抛弃它们的物理性质，并与自然数列建立一一对应关系，才能得出物体的个数和顺序。儿童要认识物体的形状也必须抛弃物体的物理性质，并把不同形状的物体进行分类。例如儿童要认识四边形，就必须抛弃物体的颜色、大小、质量等物理性质，并把四边形从其他形状的物体中区分出来。 

三、知识的认知起源：物理动作和数理逻辑动作 

从以上三种知识的性质可知，儿童获得社会知识，基本上靠语言传递，通过记忆就可得到。而物理知识必须经过亲身体验才能得到：我们可以告诉儿童“质量”这个词，但什么是质量，必须自己掂过才知道。冷、热，软、硬等物理知识都是如此。因此，物理知识是不能用语言传授的，而是通过动作获得的。 

数理逻辑知识也是不能用语言传授的。首先，数理逻辑知识都包含物理知识，例如儿童首先要认识各种颜色，才能比较颜色的不同。其次，数理逻辑知识要通过更复杂的动作来认识。例如什么是物体的“个数”，是无法用语言传授的。儿童要认识物体的个数，就必须亲自数数。儿童数一堆小石子的个数包含一系列动作：拿起一个石头，把它放到一边（或者点一下某个石头），同时念出一个自然数（这也是动作）。他不能把一个石头数两次，也不能漏掉一个石头不数，这样他就必须按照一定的顺序进行，而他数石头的动作就组成了一个系统。儿童测量桌子一边的长度也包含一系列动作，这些动作也组成一个动作系统。数理逻辑知识就是通过这些动作系统获得的。 

于是，获取知识的动作可分为两类，一类是物理动作，即直接作用于外界的个别动作，如推、敲、摸、压、掷等等。这些动作是直接作用于物体的，并且都只有单独一个动作。另一类是逻辑数理动作，即个别动作组成的协调组织，或者说一系列相关联的动作组成的动作系统。 

知识来源于动作，但动作并不能直接产生知识，主体还需要对动作进行抽象，才能获得知识。例如儿童用手拿起一件东西，如果他舍弃这件东西的形状、大小、颜色等性质，只感受它给自己的手施加的力，就得出“物体有质量”这一知识。这一思考过程就是抽象。对物理动作的抽象称为“经验抽象”或“简单抽象”。这种抽象是从对象本身抽象出来的，轻、重，光滑、粗糙，热、凉，都是由物体本身抽象出来的性质。由简单抽象得到的是物理知识。 

对逻辑数理动作的抽象称为反省抽象。反省抽象是对行动过程进行抽象，而不是对对象本身进行抽象。例如一个儿童数一堆卵石，数完后得出结果是10个，但是个数并不存在卵石中，是儿童把卵石与自然数列的一部分建立了一一对应，才得出卵石的个数。儿童数数的过程就是建立这种一一对应的过程，而个数就是从这一过程抽象出来的。儿童数卵石要按一定的顺序，顺序并不存在卵石之中，而是儿童把它们排成各种顺序的。进一步的，他把卵石排成一行，从左数到右，结果是10个；为了好玩，他又从右数到左，很奇怪，结果还是10个；他又把卵石排成一个圈，沿不同的方向再数，结果总是10个。不管他把卵石排成什么形状来数，结果总不变。最后他发现了“数数的结果与数数的顺序无关”这一重要的数学知识。由反省抽象得出的知识是数理逻辑知识。 

不仅是理解数的概念，儿童建立空间观念也必须依靠动作性活动。对于几何图形的概念，至今我们的教学几乎都是让儿童观察几何图形，然后讲解，很少让学生进行实物操作。也就是说，我们相信儿童凭视觉就可以建立几何图形的表象，头脑的工作就像用照相机照相，拍下的形状就成为头脑里的一个“表象”。对于成人来说这似乎是显而易见的，然而对儿童来说情况却并非如此。皮亚杰和一些西方心理学家进行了许多这方面的实验，结果都表明，儿童要建立几何表象，单凭知觉或视觉是不够的，还必须有儿童对物体施加的动作。在这些实验中，必要的动作就是儿童用手指或双手沿着物体的轮廓运动，形状正是这样抽象出来的。皮亚杰强调指出：“动作性的活动对于儿童理解空间观念具有无比巨大的重要性。”（[美]R.W.柯普兰.儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义.上海教育出版社，1985：264） 

皮亚杰认为，儿童行动的协调经过一定的发展阶段而变成了心理运算乃至逻辑的和数学的概念。一切经验、知识发源于实际动作，而非来源于物体本身，而思维则是对事物所采取的行动的抽绎。 

目前我国小学数学教学的一个普遍问题是，教师常常把数学知识当作社会知识来教，认为数学知识都可以通过语言来传授，让儿童大量地死记概念和法则。皮亚杰的研究表明，让儿童机械地模仿数数的过程，儿童往往只学会了数数的形式，而没有认识到数数的本质。例如让儿童数8根小棒，他们会认为1到8的数就是这8根小棒的名称，而数数的结果就是最后那根小棒的名称，并常常漏数或多数某一根小棒。儿童必须接触大量的不同数量的实物，通过比较懂得“多些”“少些”“同样多”这些概念，并通过大量的动手数数的操作，才能最后理解数数的本质。对于运算也一样，我们可以教儿童正确回答2加3是多少，但只有在儿童自己的头脑中建立了两数相加的关系时才能真正懂得加法。 

机械地教儿童数学知识，虽然也可以使他们通过考试，但儿童会由于不理解而失去对数学的兴趣，也不能产生有效的知识迁移，更不能培养创新精神。中国学生的创新能力差，这种错误教学法是根本原因之一。 

从以上考察可知：由于数学知识固有的性质，儿童用阅读课本和听讲的方法，是不可能学会的。 

四、儿童思维发展的阶段性 

以上我们是从知识的性质来考察儿童的数学学习，下面我们再从儿童的认知规律和心理特点来考察。 

皮亚杰花了几十年时间研究儿童认识的发生和发展，他采用“临床法”长期系统地观察、分析个体从乳儿到少年的思维发展过程。他发现，儿童思维的发展具有阶段性。从出生到十四五岁，儿童思维的发展可以分为四个阶段，每一个阶段的思维各有其特点和规律。这四个阶段在许多心理学着作中都有论述，笔者也曾在贵刊谈到。为了行文的方便，这里再扼要介绍一下： 

1．感知运动阶段(0～一二岁)。依靠动作和感知思维，即婴儿通过他加以客体的动作和这些动作所产生的结果来认识世界。 

2．前运算阶段(二～六七岁)。依靠表象来进行思维，出现了不与实物直接联系的信号性活动。 

3．具体运算阶段(六七岁～十一二岁)。 能够进行逻辑推理，但思维不能脱离具体事物，手是他们认识事物的主要器官，动手操作是他们的认识活动的主要形式。出现了守恒性活动，具备了数量、长度、体积、面积守恒以及类别、顺序、对应等观念。 

4．形式运算阶段(十一二岁～十四五岁)。儿童的思维摆脱了具体事物的束缚，开始了形式思维，从以外部活动为主转变为以大脑内部活动为主。形式运算的形成，标志着儿童的思维已经成熟。 

小学儿童恰好处于具体运算阶段，他们认识事物的主要器官不是眼睛和耳朵，而是手。小学生喜欢动手，看见新鲜东西就用手去摸，原因就在此。“动手出智慧”；“儿童的智慧在他的指尖上”。道理也在此。 

殊途同归，儿童的认知发展规律和心理特点也决定了小学生不能单凭阅读和听讲来学习数学。 

皮亚杰的研究对全球教育产生了重大影响，这种影响的一个重要结果就是从上世纪50年代起，发达国家的小学迅速普及了小学数学学具，像教材一样小学生人手一套。 

五、结束语 

   单看“先学后教”几个字，会使我们感到似曾相识。着名的尝试教学法的基本特征就是“先试后导，先练后讲”；卢仲衡先生的“数学自学辅导教学实验”也是以学生自学为主的教学法。这两种教学法都已实行多年，成效显着。那么“先学后教”有什么改进的地方吗？    

尝试教学法的“先试”和“先练”不是指学生阅读教材，而是学生先做“尝试题”。尝试题是老师出的，与教材上的例题类似而不相同。这两种做法的区别是很大的。直接阅读教材，书上对问题已有分析和解答，学生只需看懂；独立做题，则学生需要自主思考和探索。也就是说，前者仍是一种被动接受式学习，后者则是一种主动探索式的学习。 

“数学自学辅导教学实验”最主要的特点是编有一套《中学数学自学辅导教材》。学生阅读的是这种专为实验学生编写的教材，而不是中学的统编教材。这就是说，该实验认为，统编教材并不适合学生自学。虽然同是阅读教材，但两种教材是为不同的目的编写的，肯定有很大的不同。 

一种并无新意的教学法受到如此广泛的追捧，这种现象值得我们深思。