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小学数学名师课堂直播 （脚本）
小学数学名师课堂直播（脚本）
直播时间：
直播地点： 扬州市江都区实验小学
名师姓名： 郜晓定
执教课题：《用字母表示数》
研讨主题：引导学生进行知识的有效建构
直播程序：
一、主持人王林主任：介绍嘉宾 （ 4分钟）
各位老师，大家好，欢迎来到江苏省中小学教学研究室的教研新平台——教学新时空，现在是“小学数学”——名师课堂的直播。首先给大家介绍出席今天直播活动的专家和名师。
我是扬州市江都区教研室副主任，中学高级教师，扬州市小学数学学科带头人，我叫吴立才。也是江苏省小学数学专业委员会的理事。现在把其他三人分别介绍给大家。
他们是：扬州市教育局教研室小学数学教研员
另一位是韦波富老师。韦波富老师是来自扬州市东关小学。他是江苏省小学数学特级教师。中学高级教师，是扬州名师。多年研究小学数学教学。发表过多篇文章，主持研究过比较多的数学课题。现在还带了好几位徒弟，他所指导过的课堂教学案例、设计都有一定的特色。徒弟在省市上课都取得好的成绩。
特别要介绍的是执教的老师。她就是郜晓定，也就是上课的老师，她是扬州市江都区实验小学数学教师，中学高级教师，扬州市小学数学学科带头人，扬州市小学数学名师工作室成员。她的数学教学观念新、方法活，所教学生数学基础扎实、数学思维活跃。她曾多次执教各级各类公开课与示范课，曾获全国中小学信息技术创新与实践竞赛一等奖，江苏省小学数学优秀课评比一等奖，扬州市青年教师基本功竞赛一等奖，扬州市青年教师成长“百千万工程”我的教学研究一等奖，江都“育花奖”一等奖。她多次参与国家级、省市级课题的研究工作，有十多篇教学论文在相关的专业教学杂志上发表。
今天直播的主题是“引导学生进行知识的有效建构”，接下来让我们一起走进郜晓定老师的课堂——《用字母表示数》。
二、郜晓定老师录像课 （40分钟）
三、主持人吴立才主任 （1 分钟）
刚才大家观看了郜晓定老师的数学课，《用字母表示数》。听课不评课等于吃饭不咀嚼，听课加上评课就容易消化吸收了。接下来我们首先请执教的老师郜晓定来说自己的教学设计，增加对本节课的深度理解。
四、郜晓定老师说课 （9分钟） 1
好的，各位老师大家好！我来和大家说说，我是怎么思考备课、上课的。 “用字母表示数”是学生学习代数初步知识的启蒙课，是以后学习简易方程和代数知识的基础。“用字母表示数”是由具体的数和运算符号组成的式子过渡到含有字母的式子，是学生认识过程上的一次飞跃。其整个教学过程实质上是从个别到一般的抽象化过程。四年级学生的思维还是以具体形象思维为主，抽象思维能力较弱。本节课内容比较抽象、枯燥，需要引导学生在现实情境中初步理解用字母表示数的方法，渗透符号化思想，培养抽象概括能力。我研读教材后，从学生的已有知识基础出发，拟定了本节课的基本思路，
第一个环节：唤醒经验，感知字母可以表示数
课始，教师引导学生观察扑克牌上的字母，这些字母表示什么？学生发现：扑克牌上的字母其实表示了不同的数，字母和数学是有联系的。这一环节利用学生熟悉的物品唤醒生活中的经验，拉近了字母与数学的关系。
第二个环节：逐步建构，感悟用字母表示数的意义和作用
1、在现实情境中逐步抽象用含有字母的式子表示数量
每个学生都有用小棒摆图形的活动经验，借助摆小棒的情境提出数学问题：摆一个三角形用几根小棒？摆两个三角形用几根小棒？怎样列式？摆三个三角形用几根小棒？怎样列式？如果继续这样摆下去，你能照样子提出一个问题吗？无论摆多少个三角形，所需小棒的根数都可以怎么算？学生创造了多种表示方法，通过对比，学生感受到用字母表示数的简捷。学生逐步抽象的过程其实就是数学史上“用字母表示数”的发展过程，于是，教师相机介绍用字母表示数的数学史，使学生感受到用字母表示数是人类研究数学的进步，从而乐于用含有字母的式子来表示数量。
2、用含有字母的式子表示数量关系。
本环节选取“比赛剪图形”这一素材开展教学。首先让学生根据“小军剪的长方形比小芳剪的正方形多3个”猜一猜正方形几个，长方形几个，将学生的注意力聚焦这两个数量的关系上。在学生乐此不疲的猜测氛围中制造认知冲突：正方形和长方形的个数有这么多可能性，那正方形和长方形的个数究竟写多少个呢？使数学感受到这时用字母和含有字母的式子表示数量的必要性。接着类推：小丽剪了n-4个三角形，小华剪了2×n 个五边形，你又能看出什么呢？让学生对含有字母的式子可以表示数量间的关系有深刻的认识。紧接着引导：如果让你也参加剪图形比赛，你想剪什么图形呢？你会用含有字母的式子表示你剪的个数吗？让学生依据字母式子的模型自主创造式子表达数量间的关系，促成学生对知识的自我建构。
3、用含有字母的式子表示计算公式。
出示正方形，和两个公式C=a×4和S=a×a，猜一猜，式子里的字母分别表示正方形的什么？这是正方形的什么公式？学生已经学习过正方形的周长和面积公式，让学生调动自己的知识储备猜测，根据式子表达的数量关系主动搜索旧知，促使学生将新知纳入到原有的知识体系中。
第三个环节：自主学习，掌握含有字母乘法式子的简写。
我想，利用学生接触到的式子学习含有字母乘法式子的简写应该更具有现实意义，所以我用课件展示了本节课中涉及到的所有式子，引导学生将所有的式子逐级分类，哪些是加减法式子，哪些是乘法式子，乘法式子中再看哪些是数与数相乘，哪些是数与字母相乘，哪些是字母与字母相乘，引导学生用全局的眼光去看含有字母的式子，说明哪些式子是不能简写的，哪些式子是可以简写的。引导的学生自学简写方法，但四年级孩子的自学能力参差不齐，所以紧接着通过师生交流屏幕上的式子怎样简写，在交流过程中使学生对简写方法更加明确。
第四个环节：巩固拓展，提升对已学知识的理解。
练习一，创设小明一家三口看电影座位图的情境，怎样表示三个人的座位号能让人一眼就看出这三个座位号的关系呢？让学生感受到可以用含有字母的式子灵活地表示数量之间的关系。
接着，教师引导学生回忆以前学习的一些知识，让学生试着用字母表示数的方法表示以前所学的分数和一一间隔的规律，这既是对用字母表示数的巩固运用，也是对旧知识理解的提升。
拓展部分出示3箱苹果和3a，想象一下，a可能表示什么？3a可能表示什么？隐去图片，你觉得3a还能表示什么？体现了用字母表示数的概括性与简洁性。
第五个环节：总结反思，强化用字母表示数的价值。
五. 主持人吴立才主任 （ 1分钟）
好，刚才郜晓定老师谈了她是如何设计的，谈了五个环节。我觉得是很不错的。不断递进，让小学生逐步深入的建构了数学知识。薛老师是扬州市数学教研员，你应该是专业化的人员了。我想也请你对这节课说说你的想法。帮助大家去理解，好吗。
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六. 薛科长评课 （8分钟） 压缩内容为8分钟，1600字
好的，谢谢吴主任。刚才我和大家一起观看了
第一、有效创设情境，愉悦主体建构的氛围。
创设情境是数学教学中常用的一种策略，它通过联系生活，联系实际，以利于解决数学的高度抽象性和小学生思维的具体形象性之间的矛盾。创设有效教学情境，有利于学生掌握数学知识和技能，有利于每一个体主体性的数学建构和认知发展。创设了生动活泼的问题情境，营造愉悦主体建构的氛围，让学生在数学情境中探究知识，进入优化的自主探究状态之中，不断爆发课堂奇迹，学生以愉悦的心态享受数学，引发数学学习的有效认知建构。
郜晓定老师的这节课，课始，教师引导学生观察扑克牌上的字母，这些字母表示什么？学生发现：扑克牌上的字母其实表示了不同的数，字母和数学是有联系的。这里，郜晓定老师用学生熟知的事例引入数学问题，扑克牌是学生从小就非常熟悉和喜欢的，这样的情境创设贴近学生生活，激活了学生的生活经验。
接着，在摆小棒的情境中理解含有字母的式子可以表示数量，学生经历了由具体的小棒摆三角形的表象到用文字表示小棒根数再到用半文字半图形表示，最后用字母表示。经历了数学研究由具体到抽象的演变过程。
其次在剪图形的情境中，让学生根据“小军剪的长方形比小芳剪的正方形多3个”猜一猜正方形几个，长方形几个？类推出小丽剪了n-4个三角形，小华剪了2×n 个五边形，引导学生理解含有字母的式子还可以表示数量关系。
再由根据给定的数量关系用含有字母的式子表示，到自己创造含有字母的式子表示你想表达的数量关系；最后在电影院座位图的情境中体会含有字母的式子表示数量关系的灵活性。这样的情境创设贴近学生生活，富有趣味性，尤其注重了情境的思考性。数学课堂中创设的情境，是要由情境引发学生的数学思考，从现实原型引向它的数学模型。郜晓定老师在创设情境时，紧紧围绕如何用字母表示数，进行多层问题设计，这一设计符合学生原有的数学知识结构，引导学生在原有认知的基础上有效建构新知。
“学起于思，思源于疑” 郜晓定老师借助情境，提出数学问题，诸如：根据“小军剪的长方形比小芳剪的正方形多3个”猜一猜正方形几个，长方形几个？小明一家三口看电影座位图的情境，怎样表示三个人的座位号能让人一眼就看出这三个座位号的关系呢？学生带着数学问题，就会主动探究，自主建构新知。学生的思维就会处于主动、积极思考状态。因此，优化数学问题序列的设计是激发数学思维，引导学生主动建构的关键。而有效创设情境，愉悦主体建构的氛围是主动建构的前提。在探究新知的过程中，郜晓定老师通过创设问题情境，设疑激趣，引起学生的认知冲突，发挥了情境在数学认知建构中的引领和启思的作用。
第二、有效组织数学活动，夯实主体建构的根基。
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。教师要向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和主动建构的过程中理解和掌握基本的数学知识和技能，获得广泛的数学活动经验。通过精心设计一些数学活动，使学生能在活动中学习数学、感受数学，加深对数学知识的理解，让学生在经历数学活动的过程中，进行知识的有效建构。
郜晓定老师的这节课，已充分地认识到数学活动的意义，并努力组织各种数学活动让学生去经历、去感悟，去自主建构新知。首先，教师借助学生用小棒摆图形的活动经验，提出数学问题：摆一个三角形用几根小棒？摆两个三角形用几根小棒？怎样列式？摆三个三角形用几根小棒？怎样列式？如果继续这样摆下去，你能照样子提出一个问题吗？无论摆多少个三角形，所需小棒的根数都可以怎么算？学生创造了多种表示方法，通过对比，学生感受到用字母表示数的简洁。这里，让学生充分体会用字母表示数的好处。体会用字母能代表一大批具体的数，用含有字母的式子能概括地表示数量关系。值得注意的是：我们教学时，要提出一些有针对性的数学问题，让学生想一想、说一说。让学生多次进行这样的从部分到全体的联想，学生就能体会到字母表示数具有概括性的特征。
在教学用含有字母的式子表示数量关系时，郜晓定老师用“比赛剪图形”展开教学活动，制造认知冲突：正方形和长方形的个数有这么多可能性，那正方形和长方形的个数究竟写多少个呢？使数学感受到这时用字母和含有字母的式子表示数量的必要性。紧接着引导：如果让你也参加剪图形比赛，你想剪什么图形呢？你会用含有字母的式子表示你剪的个数吗？
在教学含有字母乘法式子的简写时，郜晓定老师用课件展示了本节课中涉及到的所有式子，引导学生用全局的眼光去看含有字母的式子，说明哪些式子是不能简写的，哪些式子是可以简写的。让学生比较辨析：省略乘号后的式子与原来的式子比较有什么不同，省略乘号后的式子究竟发生了什么变化。通过比较辨析，让学生初步掌握用字母表示数的书写规定。这样的教学，既避免了老师的“人灌”，也不是课件的“电灌”教学，而是引导学生主动建构，体会用字母表示数的简捷性。
值得一提的是，郜晓定老师通过有效的数学活动，强化学生主体的认知建构。数学活动前老师都有明确的活动目的指导，让每一位学生知道“做什么”和“怎样做”。数学活动中老师有意识地引导学生加深对所学知识的体验和感悟，引导学生经历新知建构的过程。数学活动后老师重视引导学生对活动过程进行回顾与反思，对数学方法进行优化与总结。纵观整节课，郜晓定老师组织的数学活动，是引导学生有效建构的过程，也是学生经历数学化的过程。
第三、有效多层练习，丰富主体建构的经验。
有效练习是有效课堂的一个重要组成部分，它是掌握数学知识，形成数学技能、培养解决数学问题的能力、发展学生智力的重要手段，数学练习对数学知识的构建起着重要的作用。
郜晓定老师的这节课，组织了有效多层的练习。这里，既有针对性练习，如创设小明一家三口看电影座位图的情境，怎样表示三个人的座位号能让人一眼就看出这三个座位号的关系呢？让学生感受到可以用含有字母的式子灵活地表示数量之间的关系。也有基础性练习，如教师引导学生回忆以前学习的一些知识，让学生试着用字母表示数的方法表示以前所学的分数和一一间隔的规律，这既是对用字母表示数的巩固运用，也是对旧知识理解的提升。更有精心设计的综合拓展性练习，如出示3箱苹果和3a，想象一下，a可能表示什么？3a可能表示什么？隐去图片，你觉得3a还能表示什么？体现了用字母表示数的简捷性与概括性。
郜晓定老师精心设计的多层练习，使得“练”更有效，“做”更有味，收到事半功倍的效果。
以上点评，仅是个人之见，郜晓定老师课堂中许多精妙之处，我说的也可能以点概貌，挂一漏万。谢谢大家。
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七、主持人吴立才主任 （ 1分钟）
好，刚才薛老师做了比较详实的评点。讲了三个有效。课堂教学确实是要追求有效性。就那么40分钟时间。必须紧凑，把最佳时间用好。韦波富老师是江苏省小学数学特级教师，多年从事小学数学的研究。我们现在请韦特从数学理性和实践方面来谈谈对这节课想法好吗。
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八.韦特评课（ 10分钟） 1
好的，谢谢吴主任，刚才我和大家一起认真学习了
一、建构的过程突出了模型思想。
大家都知道，数学建模就是用数学的语言、方法去近似地刻画实际问题，而这种刻画的数学表达式就是一个数学模型。表示数和数量关系的含有字母的式子，是对情境中数量关系的表征的结果，就是一个个具体的数学模型。
第一方面，建模的过程完整，思路清晰。在用小棒摆三角形以及剪图形活动中，学生都经历了建模的完整过程。摆三角形，先是摆一个、两个、三个，用算式表示小棒的根数，这是用算式语言表达关系的过程；然后让学生提问题，接着摆下去表示小棒根数的算式是什么，这是积累认识的过程；接着出示表格，想象还可以写出多少个这样的算式，感受进行算式概括的必要性;最后，引导学生进行个性化的表征，从用抽象的文字表达，到符号表达，再到用含有字母的式子代数语言表达。
剪图形建模过程大体相同。先让学生猜：剪的长方形、正方形各有多少个，以期积累对长方形、正方形个数之间关系的感性认识；在此基础上，让学生用字母的式子表示剪的长方形和正方形个数之间的关系。建模水到渠成。
两个建模活动都遵循从具体到抽象，从特殊到一般的过程，彰显字母式子的概括性。
第二方面，建模过程遵循学生的认识规律。如果说用字母式子表示摆三角形用的小棒根数、以及所剪的长方形、正方形个数之间的关系，是在老师引导下实现的，那么用字母表示相邻三个座位号之间的关系、分数的意义、物体一一间隔排列的规律，则是学生根据已经积累的建模经验，通过分析数及数量之间的关系自主完成的。
例如，相邻的三个座位号，一般做法是，指定一个座位号为a，要求学生用含有a的式子表示另两个座位号。而
第三方面，模型思想的渗透还体现在对具体模型的解读上。
一是剪图形环节，在用字母表示小军剪的长方形与小芳剪的正方形个数之间的关系后，老师提出了两个问题要求学生思考：第一个问题“小丽剪了n-4个三角形，你能看出什么？”，第二个问题“小华剪了2×n个五边形，你能看出什么？”，学生根据n这个字母表示的数以及n-4、2×n所表达的含义，通过推理得到两种图形个数之间的关系。这需要建立在学生对模型理解的基础之上。
二是，出示正方形周长与面积的计算公式，让学生说说公式中字母以及字母式子表示的意义。从含有字母的式子到含有字母的等式，是学生认识上的一个跨越。教者通过直接给出字母公式、解读这个公式，帮助学生完成了这一跨越，减缓了认识上的难度。
三是最后环节，出示一箱苹果，要求学生说出
对模型的解释是理解模型的过程，是将模型具体化的过程。
二、建构的过程体现数学活动经验的积累。
现实生活中，我们经常会遇到一些相同或相似的数学现象，并试图寻找到这些现象内在的一致性，那就需要运用数学的方法通过比较，在变与不变中抽取规律性的东西。这种素养是在数学教育中形成的。
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九、主持人吴立才主任 （1 分钟）
谢谢韦特，韦特深度解读了数学建构，数学建模的思想方法，有理论有案例，大家一定听起来很受启发，今后在数学教学中可以加以借鉴。今天的活动我们还有任务就是主题发言。结合本课的学习围绕小学生主动建构知识进行专题发言。接下来我们请郜晓定老师先做个发言。好不好。
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十.郜晓定老师专题发言：（10分钟）
好的，我认为小学生的学习过程一般都是在原有知识基础上主动建构知识的过程。教学便是教师激发、引导、辅助学生建构知识的过程。只有充分地了解学生，我们才能有针对性地设计教学活动，更好地为学生的学习提供指导和帮助。下面，我结合“用字母表示数”这节课谈谈如何引导学生进行知识的有效建构。
一、经历抽象过程，在熟悉的情境中进行知识的有效建构
《义务教育数学课程标准》指出，数学教学要从学生的生活经验和已有的知识水平出发，创设积极有趣，富有思考性的情境；搭建联系广泛，资源丰富的平台，激发学生对数学的学习兴趣和学好数学的愿望，并且在特定的数学活动过程中引导学生主动参与和探索，经历发现规律，掌握特征的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
学生理解字母表示数需要一个缓慢的过程，需要经历大量的活动，积累丰富的经验。教学中，我不断提供给学生生活中常见的情景和具体事例，让他们在熟悉的环境中反复体会字母表示数的现实性。让学生在生活中学习，在熟悉的环境中理解用字母表示数的意义和作用，本节课创设了多种情境，让学生完整地经历用字母表示数的抽象概括过程，引导学生由具体到抽象、由浅入深、逐步体会字母表示数的意义。
首先在摆小棒的情境中理解含有字母的式子可以表示数量，学生经历了由具体的小棒摆三角形的表象到用文字表示小棒根数再到用半文字半图形表示，最后用字母表示。经历了数学研究由具体到抽象的演变过程。其次在剪图形的情境中理解含有字母的式子还可以表示数量关系。由根据给定的数量关系用含有字母的式子表示，到自己创造含有字母的式子表示你想表达的数量关系，给了学生体验数学与现实的充分空间，学生主动探究、深入思考、主动生成知识。再次在电影院座位图的情境中体会含有字母的式子表示数量关系的灵活性。
在现实性的、生活化的不同情境中，学生去感受，去探索，去应用，从具体事例中逐步进行抽象概括，思维也逐步从具体到抽象，从个别到一般，学习过程真正成为学生自主建构、自我生成的过程。
二、注重整体入手，在逐级分类中进行知识的有效建构
本节课中，掌握含有字母的乘法式子的简写方法是教学目标之一，含有字母的乘法式子的简写方法虽然属于“陈述性知识”，但是不同的方式会影响到学生的接受效果。我将课堂中出现的各种类型的式子收集起来展示给学生，将这若干个式子分为加减法和乘法，将乘法式子又分为数与数相乘、数与字母相乘、字母与字母相乘，最后将目光聚焦到数与字母相乘和字母与字母相乘的式子，及含有字母的乘法式子，再学习它们的简写方法。这样采用层层剥茧的方式，引导学生从整体入手，建立完整的认知框架，明确可以简写的式子仅仅是许多式子中的一小部分，有利于学生建构完善的认知结构。
三、引导反复比较，在对比中进行知识的有效建构
用字母表示数体现数学的简洁性和概括性，为了让学生感受用字母表示数的优势，本节课安排了几次对比，让学生在对比中体会到用字母表示数的价值。
在引导学生用a×3表示摆任意三角形所需小棒的根数后，教师让学生比一比“三角形的个数×3” 和“a×3”，在对比中学生不难发现，用字母表示非常简洁，从而乐于用含有字母的式子来表示数量。
在用字母表示正方形的周长和面积后，让学生比一比两种表示计算公式的方法，有什么感觉？学生体会到用字母表示公式易于表达、便于记忆。
学生对字母表示数的理解不是一蹴而就的，需要反复的体验。为了发挥学生已有知识的有效作用，本节课的最后，教师引导学生回忆以前学习的一些知识，让学生试着用字母表示数的方法表示以前所学知识，学生发现用就可以表示任何一个分数，用n和n-1就能表示一一间隔排列的规律，省略了繁琐的语言表述，多么简单明了！
用字母表示数这一数学表达方式的获得，使学生的思维过程更加凝练，通过旧知识与新知的整合，也使学生对原有知识的理解更上了一个台阶。反复的对比中深化了学生的学习体验，提升学习效果。激发学生进一步体验符号语言的优越性，使新旧知识在深层次上达到了统一。
十一. 主持人吴主任 （1 分钟）
刚才郜晓定老师讲的很清楚。在情境中有效建构，在整体中深入的分层的建构，在比较中有效建构，这三个思考都是她在实践中体验和感悟。接下来我们还是请薛老师对这个专题说说你的思考吧。
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十二. 薛科长专题发言：（15 分钟）主动建构知识 压缩成4000字
好的，我来说说吧。精彩课堂源自有效建构，而数学教学的“有效建构”是相对于“无效建构”或“低效建构”而言的，关键则在于学生主体能动作用的充分发挥。学生的数学学习，是在教师引领并创设的教学情境下，借助已有的知识、经验，主动探索，积极交流，从而构建新的数学认知结构的过程。有效建构的数学教学，必须在情境的创设、小组合作的完善以及教学策略的优化上狠下功夫。
一、优化数学学习情境的创设
建构主义学习观认为，数学学习常常是与一定的社会文化背景即“情境”相联系的，数学认知建构是一定情境的衍生物。在数学教学中，通过语言、图片、实物展示、实际活动或通过多媒体创设的模拟情境，利用生动、直观的形象素材可以有效地激发学生认知，使之聚焦于一定的数学联想，唤醒其长期记忆中有关的数学知识、数学认知经验或数形表象。在此基础上，学生进而快速调用原有认知结构中的有关部分，去同化当前数学课堂学习中的新知识，赋予新知识以某种数学意义。这就要求教者创设包含许多不同素材的应用实例和有关的数学信息的学习情境，以便随时激荡起学生探究与咨询的欲望，并能由课堂提供与引发儿童根据自己的兴趣、爱好去主动发现、探索的数学化背景与认知化素材。我们认为，数学学习情境的创设要具备一些条件:
1.要与数学新知学习内容密切相关。
首先，是要看情境中是否具备数学思考价值，如果不含有数学信息，无论多么形象生动，多么令人感兴趣，教学中也应不予选用；其次，要看情境所含有的数学信息是否与本节课的教学目标密切关联，是否符合当前教学的需要，如果不能满足当前教学的需要，与本课教学宗旨相距较远，那么情境素材就不够经济；再次，要看这样的数学情境是否有助于本节课教学目标的有效落实。比如“千克和克的认识”一课中，现实中的大至船只、汽车的载重量，小至纽扣、药丸的重量，需要计量的对象比比皆是。我们选择家用袋装食盐进入课堂，主要考虑体现数学与日常生活的联系。而且这样的素材蕴含着多个数学信息：每袋盐包装袋上标明500克，两袋盐正好是1千克。学生两次掂在手上可感受到500克与1千克的份量，并可从中强化千克与克的关联，方便了教学的准备和使用。
再如教学《面积的初步认识》，上课伊始，创设拍手欢迎的嬉戏情境，从拍手开始导入新课。“两只手碰击的地方就是手掌面”，摸一摸老师的手掌面、摸一摸自己的手掌面、摸一摸数学书的封面，以及黑板的表面等等，用学生自己身边熟知的事物，借助于学生的生活经验，让学生充分感知“面的大小”，引发新知的生成，在学生都能乐滋滋的沉浸于生活体验时，揭示出这节课的主题——面积的认识。及时的把学生的生活经验，凝练为数学知识，把生活语言提升为数学语言：黑板表面的大小是黑板面的面积，数学书封面的大小是数学书封面的面积。让每一个学生都亲历体验，摸一摸自己身边的物体表面，桌子、凳子、练习本、文具盒等等，比较两个面的面积大小，并用数学语言表述自己的感受。
2.要有利于激发学生的数学联想。
创设数学教学情境的目的，不只是为了形象、花哨，不是为了加强观赏性，而是为了激活学生的数学思考。比如教学“平行四边形面积”，教者创设了这样一个富有现实意义和挑战性的情境：一个农户有块地想与邻人调换使用，两家的田块都是平行四边形，其边、高均不同，面积该怎样丈量与计算，调换时会出现什么问题？请同学们根据图形研究解决。在农村调换田地是多所遇见的事，这涉及丈量和计算田地面积。所以创设这样的情境，学生一定有实践感受的基础，能够触发他们问题联想的产生，不仅仅可以生发出平行四边形面积计算的数学知识和技能，还能感悟到解决问题的一些其他方面，比如高的长度测定等，有助于打开学习思路，培养学生灵活发散的思维能力与实践能力。
再如：在复习三角形、平行四边形、梯形的面积计算时，让学生启开联想∶如何把梯形的下底切下一段拼接到上底，使上底与下底同样长，这时梯形将变成什么图形（如图1）？它的面积与梯形面积有什么关系？如果把梯形的上底全部切下来，和下底拼接（如图2），这时梯形又变成了什么图形？它与梯形的面积有什么关系？图形的这些等积变换不但把当前求梯形面积的问题归结为以前已解决的平行四边形或三角形的面积计算问题，而且拓宽了学生的思维空间，培养了学生的想象能力，增强了学生的创新意识。
图1 图2
3.要具有生动形象的数学认知刺激。
教学情境可以使用现代媒体手段，通过多彩的色调，生动的形象，富于变化的语气、声调和节奏来呈现数学题材，凸现数学问题，提高感知信息的刺激强度。比如分数的意义教学中，为了显示单位“1”的实际含义，教者用一支粉笔，一盒粉笔，一箱粉笔来显示计量单位的变化类型，突出一个物体、一个计量单位、一类事物的整体都可以用来平均分，从而使学生获得分数意义中对于单位“1”认知建构的快速拓展。
再如：一位老师教学“比例尺”时，首先安排学生自己动手，运用“比”的知识和对地图、平面图的了解，在作业纸上画出与三角尺同样大小的三角形图；并让他们将实物与图进行比较，感受“图上的边长∶实际的边长=1∶1”。针对这一情景，教者随后向他们提出这样一个问题：“你能用同样的方法把长200米，宽100米的学校操场画在图纸上吗？”“一石激起千重浪”。学生有的诧异，有的好奇，有的惊叹：“操场这么大，纸张这么小，怎么画得下呀！”。紧接着，教者趁机引导：“操场大、纸张小，难道就无法在纸张上画操场了？生活中，我们见到的地图怎么能绘制出地区、国家、地球的？”学生马上意识到：可以把实际长度缩小后画到图纸上。他们随即意识到这里有一个比例问题。我们可以利用已学的“比”的知识，把操场的长和宽都同时缩小若干倍——“哇！画图就要把图上的距离与实际距离确定一个比”。学生认知伴随着情感的发展而发生，惊异过后的思索获得感悟，使学生产生欢愉与探究学习的动力。他们很快在纸上画好了操场按比例缩小的图。“比例尺”的概念——图上距离与实际距离的比叫做这幅图的比例尺。也就在学生自己探究，在他们的惊异、困顿、喜悦、振奋等情感体验变化中自然生成了。
二、优化合作学习的设计
有效建构同时也是在课堂进行有效合作学习的结果。设计班级合作学习小组的目的，是为了在个人自主学习的基础上，通过学生人际的社会化交往，开展小组讨论、进行互动交流，实现资源共享、认知互补，以进一步完善和深化对数学知识的意义建构。考虑课内小组的分合方便，小组人数以同座两人或前后学桌四至六人为宜。合作学习的课堂教学中，师生、学生和学生之间的交互活动是多边进行的，学生有更多的机会发表自己的看法。比如，分数意义的教学，安排合作学习小组通过折纸划阴影来做出分数。几个学生用一张纸折出不同形状的四分之一。有的呈现出横向上下排列四个四分之一的直条，有的折出纵向左右排列四个的直条，有的把一张纸折出四个小长方形，有的划出两条对角线形成四个两两全等的三角形。不同的折纸形状得到补充，都凸现出把一张纸平分成四份，取出其中一份的本质特征，便于学生深刻地理解在同一张纸上表示同一个分数的多样性，与分数意义平分为几取其一的本质性。
合作学习也可以课后延伸合作，教师要有意识地组织学生，在具体的体验过程中，开展合作学习。如在教学完“长方体正方体的表面积”之后，我们可以设计这样一份作业：学校要在假期对教室墙壁进行粉刷，请你帮学校总务处计算一下，大约花多少钱买多少桶涂料？这份作业要求学生，不光要观察测量出教室要粉刷的面积，还要到市场上调查，一桶涂料大约可以涂多少平方米，每桶涂料的价格是多少？完成这样一份综合性、实践性较高的练习，必须进行小组合作，然后分工解决，否则难以有效地在规定时间内完成。真实的问题场景，促使不同的学生在不同组合中扮演不同的角色，在整个合作解决问题的过程中有效建构长方体正方体的表面积的相关知识。
三、优化主体建构的教学策略
学生在数学课堂的有效建构，还是教者优化教学策略积极实施的产物。
1.把握有效建构的尺度。
教学中强调学生对数学知识的重组、改造和丰富通过自主建构而实现，就是要关注其中学生自主、能动、超越的必要性；学生主体性的发展不仅取决于学生已有知识基础，也取决于知识生成过程的建构水平。这就要求教者把握学生认知建构的火候与分寸。比如，学生掌握了三角形、梯形面积计算方法后，教学中就可以及时地把梯形与三角形相交织，设计出从梯形中去掉一个以上底为底、顶点在梯形下底、以梯形高为高的三角形，求剩余阴影面积的综合拓展题。解题中，学生可以计算成用梯形面积减去空白三角形面积(a+b)×d÷2-a×d÷2，还可以计算成以下底为底的两个阴影三角形面积的和，当两底长不定时，可以引导设底为等长的两阴影三角形之和，即把倒置的空白三角形的顶点看作是在下底边上可以动态移动到达中点列式成b÷2×d÷2×2；也可直接列式为b×d÷2.并由此引伸出底长的和乘等高，等于两个阴影三角形面积之和。以至于可以进一步引伸出把一个圆沿直径平分成若干全等的近似小三角形后，可以用圆周长（若干相等三角形底边之和）乘半径（即同高）了。其中的每一个认知进步，都必须把握好学生的火候与尺度，才能使之“想得通”，顺利实现数学认知的有效建构。
另外，把握有效建构的尺度，是要让学生动手做数学，而不是用耳朵听数学。比如，教学《长方体和正方体》，某位教师设计了这样一道操作题：“用12个棱长
2.强化有效建构的根基。
数学教学中发展学生的主体性不是一个附加的目的，而是有效建构的内在要求，它是有效建构的根基，与数学知识的生成和学生人格的丰满是同一过程的不同方面。而且只有调动学生整个精神世界对于学习内容的驱动，学生的数学学习才可能摆脱外在力量的诱迫而成为内在的自觉追求。数学教学中以发展个性为目标，就要在数学问题的提出，新旧知识的比较，概念的揭示，规律的总结，方法的把握乃至问题的编选等各个环节，放手安排学生唱主角，使数学教学摆脱手段的局限，而让学生的主体建构获得合于规律性与目的性的统一。通俗地说，数学课堂上能由学生开展的尽量让学生自己经历。比如年月日知识的教学，教者引导谈话时，提到我国举办的一个全球性体育盛会，让学生一起说出第29届奥运会召开的时间，从而揭示课题后，让学生根据课题说出本节课希望解决的学习问题：年与月的联系，月的天数与分类，日与时的联系，各月份天数的记忆等。然后让学生来观察年历挂图，自己有序地探究、归纳、梳理，从而有效建构年月日的知识。
再如：一位老师教学平行四边形面积计算时，首先，出示两个一组形状不同，面积相等的平行四边形图形，让学生判断这两个图形的面积是否相等，让学生比较猜测，引导面积计算方法的探究欲望；接着，配合相应的剪、拼、移过程让学生把其中的一个平行四边形转化成长方形；而后，把用平行四边形转化成的长方形再与平行四边形作比较，让学生思考下列问题：转化成的长方形与平行四边形面积相等吗？长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么关系？根据长方形的面积公式怎样求平行四边形的面积……在探究实践活动中，学生有自己的操作和真切的体验，得到的结论属于自己的，是发自内心而不是外加的，这就实现了知识的自我构建。
3.丰富有效建构的体验。
学生在数学学习境遇中的种种经历及其体验，渐渐累积为数学学习经验，是个体数学意识的巨大源泉，也是间接知识转化为个体精神财富的中介，是学生构成数学认知结构的重要因素；而数学经验是数学活动的产物，其本质特征是个体的对于各项数学活动的主动参与。学生在丰富的个人体验基础上形成的数学学习经验，主要包括四点：
一是认知思考的活动经验。教师要善于组织学生进行比较辨析，分析问题和数量关系，综合归纳，抽象概括，演绎推理，做出证明与反驳，类比联想，猜测与验证，积累积极思考的经验。
二是感悟数学思考策略的经验。教师要有意识地让学生在数学思考中，自悟假设、转化、替换、倒推、列举等数学思考策略，积累思考策略运用的智慧经验。
三是实践操作的经验。数学学习中，教者要充分安排学生动手动脑，增加感性认知基础，引导学生借助测量，画图，折纸，摆弄学具，制作模型，自我观察，开展社会调查统计，尝试数学学习方案设计，为他们的数学认知建构提供直接经验基础。
四是学习中主体的伙伴交往经验。教者要有意识地训练学生学会质疑问难，学会倾听，学会求同存异，学会包容与等待，善于处理竞争与合作的关系，搞好人际协调，才能集思广益，促进有效建构。
4.创设有效建构的氛围。
师生的民主、平等、友善是数学教学中实现培养学生健康、丰富个性这一首要目标的基本条件。教育心理学家林格伦指出：“人有一种使自己成为有能力和有效力的持续的内驱力；能力和效力主要是学习的结果；能力发展有赖于学习，而这种学习是被环境中所察觉到的变化激起的。”可见，营造轻松愉快、生动活泼的数学教学氛围，与重视教学过程的探索性二者在本质上是统一的。良好的数学教学氛围应该是充满智力挑战、怡人性情、益人心智、淳化气质、滋养人格的精神漫游之“场”。只有在这样的带有享受性的数学教学精神弥漫之“场”中，才有益于每一个体主体性的数学建构和认知发展。因此，数学课堂可以适当穿插诙谐笑话，引发数学史话，增添人文意蕴，提倡灵动、幽默的点染，力求使课堂充满情趣与生机。在这样的数学课堂上，学生才能以愉悦的心态享受数学，进入优化的探究发现状态之中，不断爆发奇迹，强烈、快速、高效地引发数学的认知建构。如在“分米与毫米的认识”教学中，教者精心设计了一段学生小马虎用错长度单位的学数学日记：“我家离学校比较远，足有20000毫米，我每天走到学校足足花费20 分钟。早上我一觉醒来，感觉时间不早了，赶忙拿起200分米长的牙刷就嗽起口来。”评读中，学生认识到20000毫米只是20米，约有两教室长，竟然跑20分钟，“真是慢慢爬行的乌龟啊”；而用的牙刷竟有200多分米长，也是约有两教室长，“那么这位小马虎的嘴，起码得有好几米长，小马虎就是一个能吞下几只大肥猪的大怪物了”。教师逗得学生哈哈大笑，在笑声中更深刻地掌握了正确的长度单位，大大促进了本课已学的分米与毫米，和已有的米与厘米的常见长度单位的认知结构的有效建构。
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十三. 主持人王林主任 （1 分钟）
薛老师从几个方面具体的表述了有效建构数学知识的做法和经验。接下来我们继续请韦特谈谈这方面的想法。
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十四、韦特专题发言 （ 13分钟）主动建构知识 -2
好的，我接薛老师后面谈谈我的实践经验。发挥基本概念和原理在学生认知建构中的作用。学生认知结构的形成不是与生俱来的，需要一个“建”和“构”的过程。美国心理学家奥苏泊尔说：如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。义务教育数学课程标准也指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，引导学生独立思考，合作探究。下面我就基本概念和原理的建立和运用在学生认知建构中发挥的作用谈谈自己的看法。
一、重视基本概念、原理教学，为后续学习提供可靠的固着点。
布鲁纳在《教育过程》一书中这样说：领会基本原理和观念，看来是通向“训练迁移”的大道。
例如，加减乘除四则运算的意义就属于基本概念原理性知识，两个数量的匹配如“单价”与“数量”、“用去的”与“剩下的”等都是通过加、减、乘、除完成的，而列式的依据就是四则运算的意义，因此四则运算的意义在解决问题过程中具有战略性的地位。当然，这样的知识的获得过程只要有意义，就有迁移和应用的价值。因此在教学中要组织学生深切体会，经历运算意义建构的过程。
例如，一年级《加法的认识》我们可以组织学生经历加法意义的感知过程。
第一步：动态演示，引入模型。也就是将教材中的主题图以动画片的形式播放，让学生说说动画片的意思：原来有3个小朋友在浇花，又来了两个小朋友，现在一共有5个小朋友在浇花。
在此基础上引入模型表达。原来有3个小朋友在浇花，又来了两个小朋友，现在一共有5个小朋友在浇花。这句话的意思在数学上我们可以用这样一道算式表示：3+2=5
第二步：变换情境，丰富模型。首先将小朋友荡秋千、青蛙跳水、两堆方块等静态图中的数量关系用加法算式表示。接着实景表演：老师请学生走到讲台前，要求学生说出请学生上台的过程、结果，并用算式表示出来。
从动态到静态，从具体的实物到抽象方块，从模拟到现实，学生对加法的认识逐步清晰，内涵理解也渐显深刻。
再如，二年级除法的认识。除法有等分除、包含除两种模型，这两种模型是对实际操作活动的过程以及结果的数学表达。因此在教学中要唤起学生关于操作的经验，在操作的基础上及时进行数学的抽象。
1、学生操作：8支铅笔，每两支一份，怎么分？结果是多少？
指出：这个过程与结果在数学上可以这样表示：8÷2=4
2、继续操作：8支铅笔，还可以每几支一份来分？结果是多少？你会用除法式子表示吗？
3、刚才分铅笔都是怎么分的？被除数表示什么,除数表示什么，商呢？
将操作与算式建立联系，在大量感知的基础上通过比较、概括等活动，建立起更具一般意义的包含除的意义。这样的数学活动经验，为下面学生自主建构等分除的意义提供了迁移的条件。
二、发挥迁移的积极作用，利用原有认知结构建构新认知。
掌握有限的基本概念和原理，就能通过它们迁移学习其它相关知识，解决其他相关问题。
比如扇形统计图。学生对它的认识不是一张白纸，他们完全可以凭借自己对百分数的了解以及扇形图本身所传递的信息，了解扇形统计图的特点，再通过交流获得对它的进一步认识。这就是学生自主建构的过程，这种学习方式有力地推动着学生自主建构能力的提高。
再比如一年级下册教材中有这样一道例题：
已经摘了23个桃，树上还剩5个，树上原来有多少个桃？
解决这些问题的基础是加法的意义。但它们与加法最初的模型相比，不够典型，不能直接判断出是用加法算还是用减法算。怎么办？需要帮助学生理解题目中的数量关系。而这些问题中的数量关系又是今后常用的，因此有必要引导学生在理解的基础上构建起相对稳定的数量关系模型。建构过程可以这样进行：
1、学生尝试独立解决问题。调动学生已经积累的解决问题的经验以及加减法意义的认识。
交流讨论。学生说说自己的想法。
直观演示。用长条图表示原来的桃，摘下的23个怎么表示？剩下的5个在图中什么位置？原来的、摘下的、剩下的什么关系？（原来的桃分成摘下的、剩下的两部分，摘下的+剩下的=原来的）
2、解决其它情境下类似的问题，进一步积累经验。
3、解决表格式的问题：用去的、剩下的已知，求原来的。对数量关关系的认识逐步抽象。
4、刚才我们解决了一些问题，这些问题有什么共同之处？为什么都用加法计算？从而建构起这样的数量关系结构：减少的部分+剩下的部分=原来的。
除此之外，平行四边形面积的学习对梯形、圆形面积的学习有迁移作用，用认识千以内数的经验来认识万以内的数，等等。
三、通过比较、应用等手段，实现知识的融会贯通。
将新知识与先前的知识进行比较，可以促进知识的同化，或者能增强知识间的可辨别性，有利于学生建构起良好的认知结构。例如一二年级学习完用加法计算的实际问题后可组织学生进行比较：
1、原来有8个小朋友做游戏，又来了4个小朋友，现在有多少个小朋友做游戏？
2、树上原有一些桃，摘下23个，还剩5个，树上原来有多少个桃？
3、小英做了11朵花，小华比小英多做3朵，小华做了多少朵？
这三种问题为什么都用加法计算？通过分析，并借助直观演示，让学生明白这三个问题都是加法意义的应用，都是将两个部分合起来，只是情境发生了变化。通过比较，知识间获得了融通，学生的认知结构变得更加的简洁。
综合应用也是建构知识的重要通道。一步计算的实际问题，数量关系比较单一，而两步或三步计算的实际问题数量关系显得比较复杂，往往是两个或三个数量关系的叠加组合，是四则运算意义的综合应用。综合法、分析法为这种综合指引了思考的方向。
从条件想起，需要对现实情境中的数量进行组合，学生会依据运算意义对数量进行分析，是否存在加减乘除的关系，构建起一个数量关系模型。
从问题想起，需要对问题进行分析，结合平时积累的数量关系经验，以及所给的问题情景，构建数量关系。
综合应用，锤炼了学生建构数量关系的能力，使得知识与知识间建立起了联系，达到纵横贯通的目的。
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十五、主持人王林主任 （2 分钟）
时间真快，2个小时一会过去了。场外还有好多老师参与了本次活动，非常感谢你们的积极参与。也有老师提了一些问题。这里我们选择有代表性的做回答。
有网友问到数学素养和知识建构有哪些要素。我们想请郜晓定老师说说。
十六、预设互动 5分钟话题 （预案）如果时间多了就讲。不够就讲后面的结束语。
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好的，我来讲讲吧，数学素养和知识建构有哪些要素。
数学素养是指人们通过数学教育及自身的实践和认识活动，所获得的数学知识、技能、能力、观念和品质的素养。随着时代的变迁，科技的进步，社会的发展，现在的小学生是将来的社会人，将来社会对社会人的数学素养的要求，就是具有现代特征的小学生数学素养的内涵。小学生数学素养是指通过数学教学赋予小学生的一种学数学、用数学、创新数学的修养和品质。小学生数学素养的构成要素由数学基础知识与基本技能、数学能力、数学思想和数学方法、数学应用意识和数学观念与数学精神五个方面组成。
一、数学基础知识与基本技能素养构成及教学建构
数学知识包括三方面内容：基本知识,主要包括数学概念、数学原理和数学法则；经验性知识,它是数学基本知识的基础上所获得的经验性结论或基本知识排列组合的结果；策略性知识,它是关于怎样解决问题的方法、技能、技巧和思维模式等。按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（计算器或电脑相关的软件）、简单的推理、画图及绘制图表等技能是数学的基本技能。学好它是学好数学的关键,是基本的数学素养内容,它是形成和发展成其他素养的前提。
二、数学能力素养构成及教学建构
数学能力是顺利完成数学活动所具备的、直接影响其活动效率的、较稳定的个性心理特征。数学能力结构的七大能力类别为：数学观察能力、数学记忆能力、数学运算能力、数学思维能力、空间想象能力、数学化能力、数学学习能力。在以后是数学学习学习活动中会不断得到提升。
王林主任：
好，谢谢三位专家为老师们答疑解惑，不知不觉，我们一起聊了近两个小时，时间过得真快，关于数学知识的有效建构的专题讨论也告一段落。我们现场的研讨即将结束，老师们可以在实践中对这些话题作进一步的追问。
好，感